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python内置数据结构——tree树
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非线性结构,每个元素可以有多个前驱(前面)和后继(后面);而线性结构中,前面有一个后面有一个;
树是n(n>=0)个元素的集合:
n=0时,称为空树;
树只有一个特殊的没有前驱的元素,称为树的root根;
树中除了根结点外,其余元素只能有一个前驱,可以有0个或多个后继;
递归定义:
树T是n(n>=0)个元素的集合,n=0时,称为空树;
有且只有一个特殊元素根,剩余元素都可被划分为m个互不相交的集合T1,T2,T3...Tn,而每一个集合都是树,称为T的子树SubTree,子树也有自己的根;
树的概念:
结点,树中的数据元素;
结点的degree度,结点拥有的子树的数目称为度,记作d(v);
叶子结点,结点的度为0,称为叶子结点leaf、终端结点、末端结点;
分支结点,结点的度不为0,称为非终端结点或分支结点;
分支,结点之间的关系;
内部结点,除根结点外的分支结点,当然也不包括叶子结点,掐头去尾;
树的度是树内各结点的度的大值,D结点大为3,树的度数就是3;
child,孩子结点|儿子结点,结点的子树的根结点称为该结点的孩子,B是A的孩子结点;
parent,双亲结点|父结点,一个结点是它各子树的根结点的双亲,A是B的双亲结点;
sibling,兄弟结点,具有相同双亲结点的结点,B、C;
祖先结点,从根结点到该结点所经分支上所有的结点,A、B、D都是G的祖先结点,A、C、E是J的祖先结点;
子孙结点,结点的所有子树上的结点都称为该结点的子孙,B的子孙是D、G、H、I;
level,结点的层次,根节点为第一层,根的孩子为第二层,以此类推,记作L(v),上图L(4);
depth,树的深度|高度,树的层次的大值,上图树的深度为4;
堂兄弟,双亲在同一层的结点,D和E,D和F;
有序树,结点的子树是有顺序的(兄弟有大小,有先后次序),不能交换;(计算机要处理的数据都是有序的,所谓的随机是假随机);
无序树,结点的子树是无序的,可以交换;
路径,树中的k个结点n1,n2...nk,满足ni是n(i+1)的双亲,称为n1到nk的一条路径,就是一条线串下来的,前一个都是后一个的双亲结点(父结点|前驱);
路径长度=路径上结点数-1,也是分支树,上图路径长度为3;
森林,m(m>=)棵不相交的树的集合,对于结点而言,其子树的集合就是森林,A结点的2棵子树的集合就是森林;
树的特点:
唯一的根;
子树不相交;
除了根以外,每个元素只能有一个前驱,可以有0个或多个后继;
根结点没有双亲结点(前驱),叶子结点没有孩子结点(后继);
vi是vj的双亲,则L(vi)=L(vj)-1,即双亲比孩子结点的层数少1;
堂兄弟的双亲是兄弟关系吗?不一定
二叉树:
每个结点最多2棵子树,二叉树不存在度数大于2的结点;
它是有序树,左子树、右子树是顺序的,不能交换次序;
即使某个结点只有一棵子树,也要确定它是在左子树还是右子树;
二叉树的五种基本形态:
空二叉树;
只有一个根结点;
根结点只有左子树;
根结点只有右子树;
根结点有左子树和右子树;
斜树:
左斜树,所有结点都只有左子树;
右斜树,所有结点都只有右子树;
满二叉树:
一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子结点只存在最下面一层;
complete binary tree完全二叉树:
若二叉树的深度为k,二叉树的层数从1到k-1层的结点数都达到了大个数,在第k层的所有结点都集中在最左边,这就是完全二叉树;
完全二叉树由满二叉树引出;
满二叉树一定是完全二叉树,但完全二叉树不一定是满二叉树;
k为深度(1= 举例: 二叉树性质: 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2**(i-1)个结点(i>=1),1,2,4,8,16; 性质2: 深度为k的二叉树,至多有(2**k)-1个结点(k>=1); 一层2-1; 二层4-1=1+2=3; 三层8-1=1+2+4=7; 性质3: 对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度数为2的结点为n2,则有n0=n2+1; 即,叶子结点数-1=度数为2的结点数; 证明: 总结点数为n=n0+n1+n2,n1为度数为1的结点总数; 一棵树的分支树为n-1,因为除了根结点外,其余结点都有一个分支,即n0+n1+n2-1; 分支树还等于n0*0+n1*1+n2*2,n2是2分支结点,所以乘以2,2*n2+n1; 可得2*n2+n1=n0+n1+n2-1==>n2=n0-1; 其它性质: 高度为k的二叉树,至少有k个结点(含有n(n>=1)的结点的二叉树高度至多为n); 含有n(n>=1)的结点的二叉树的高度至多为n,最小为math.ceil(log2(n+1)),不小于对数值的最小整数向上取整; 假设高度为h,(2**h)-1=n,层次数是取整,如果是8个结果,3.1699要向上取整为4,为4层,h=log2(n+1); 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log2n)+1或math.ceil(log2(n+1)); 性质5: 如果有一棵n个结点的完全二叉树(深度为性质4),结点按照层序编号,i为结点编号; 如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲; 如果i>1,则其双亲是int(i//2),向下取整,子结点的编号整除2得到的就是父结点的编号;父结点如果是i,那么左孩子结点就是2i,右孩子结点就是2i+1; 如果2i>n,则结点i无左孩子,即结点i为叶子结点,否则其左孩子结点存在编号为2i; 如果2i+1>n,则结点i无右孩子,注意并不能说明结点i没有左孩子,否则右孩子结点存在编号为2i+1; 树的遍历: 二叉树的遍历: 遍历,迭代所有元素一遍; 树的遍历,对树中所有元素不重复的访问一遍,也称扫描; 广度优先遍历: 层序遍历,按树的层次,从第一层开始,自L左向R右遍历元素,如ABCDEFGHI; 深度优先遍历: 前序遍历,也叫先序遍历,也叫先根遍历,DLR,从根结点开始,先左子树后右子树,每个子树内部依然是先根结点,再左子树后右子树,递归遍历,如ABDGHCEIF; 中序遍历,也叫中根遍历,LDR,从根结点的械子树开始遍历,然后是根结点,再右子树,每个子树内部,先左子树,再根结点,再右子树,递归遍历,如GDHBAIECF,GDHBAEICF; 后序遍历,也叫后根遍历,LRD,先左子树,后右子树,再根结点,每个子树内部依然是先左子树,后右子树,再根结点,递归遍历,如GHDBIEFCA; 遍历序列: 将树中所有元素遍历一遍后,得到的元素的序列,将层次结构转换成了线性结构; heap sort,堆排序: heap堆,是一个完全二叉树; 完全二叉树的每个非叶子结点都要大于或等于其左右孩子结点的值,称为大顶堆; 完全二叉树的每个非叶子结点都要小于或等于其左右孩子结点的值,称为小顶堆; 根结点一定是大顶堆中的大值,一定是小顶堆中的最小值,即堆顶一定是一个极值(极大|极小); 注: 不稳定,值相同的不同元素顺序是固定的; 1、构建完全二叉树: 待排序数字为3、2、8、4、5、1、6、7、9; 构建一个完全二叉树存放数据,并根据性质5对元素编号,放入顺序的数据结构中; 构造一个列表为[0,3,2,8,4,5,1,6,7,9],列表的index与性质5中元素编号对应; 2、构建大顶堆: 核心算法是堆结点的调整; 度数为2的结点A,如果它的左右孩子结点的大值比它大的,将这个大值和该结点交换; 度数为1的结点A,如果它的左右孩子的值大于它,则交换; 如果结点A被交换到新的位置,还需要和其孩子结点重复上面的过程; 起点结点的选择: 从完全二叉树的最后一个结点的双亲结点开始,即最后一层的最右边叶子结点的父结点开始; 结点数为n,则起点结点的编号为n//2(性质5); 下一个结点的选择: 从起始结点开始向左找其同层结点,到头后再从上一层的最右边结点开始继续向左逐个查找,直至根结点(编号为1,即索引为1); 大顶堆的目标: 确保每个根结点的都比左右结点的值大; 排序: 将大顶堆根结点空上大值,和最后一个叶子结点交换,那么最后一个叶子结点就是大值,将这个叶子结点排队在待排序结点之外; 从根结点开始(新的根结点),重新调整为大顶堆后,重复上一步; 总结: 是复用堆性质的一种选择排序,在堆顶选出大值或最小值; 时间复杂度:O(nlogn);由于堆排序对原始记录的排序状态并不敏感,因此它无论是最好、最坏、平均时间复杂度均为O(logn;) 空间复杂度:只是使用了一个交换用的空间,空间复杂度O(1); 稳定性:不稳定的排序算法; 打印出一个堆结构的完全二叉树?用于理解堆排序 思路:投影(光从顶照下来),网页编程中的栅格; 另外有需要云服务器可以了解下创新互联cdcxhl.cn,海内外云服务器15元起步,三天无理由+7*72小时售后在线,公司持有idc许可证,提供“云服务器、裸金属服务器、高防服务器、香港服务器、美国服务器、虚拟主机、免备案服务器”等云主机租用服务以及企业上云的综合解决方案,具有“安全稳定、简单易用、服务可用性高、性价比高”等特点与优势,专为企业上云打造定制,能够满足用户丰富、多元化的应用场景需求。
名称栏目:15数据结构tree_堆排序-创新互联
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