数论入门、欧几里得及其扩展

♠ use C++11
♠ tip: 函数内必须是用变量来传输引用形参

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倍数

1. 若 \(a,b,k \in \mathbb N\)，且 \(a \times k=b\)，那么 \(b\) 是 \(a\) 的倍数，称 \(a\) 整除 \(b\)，记作 \(a \mid b\)。

2. \([1,n]\in \mathbb N\) 中 \(x \in \mathbb N\) 的倍数有 \(\left \lfloor \dfrac{n}{x} \right \rfloor\) 个。

约数

1. 若 \(a \mid b\)，\(a,b\in\mathbb N\)，那么 \(a\) 是 \(b\) 的约数。

2. \(a \in \mathbb N\) 的约数个数是有限的，记作 \(\operatorname d(n)\)，\(\in \mathbb Z\)。

3. 快速算一个序列的 \(\operatorname d(n)\)：设一个计数数组对应每个数，初始为 0，从左到右计算每个数，对于每个倍数加 1，当整个序列计算完后，计数数组的值是其对应数字的约数个数，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 下面是一个例子以及代码实现。

n    1  2  3  4  5  6
d(n) 0  0  0  0  0  0  start
    +1 +1 +1 +1 +1 +1  step 1 in number 1
     0 +1  0 +1  0 +1  step 2 in number 2
     0  0 +1  0  0 +1  step 3 in number 3
     .....and more
     1  2  2  3  2  4  end

void approximate_number(long long *num,long long &to){
	for(long long i=1;i<=to;++i)
		for(long long j=i;j<=to;j+=i)
			(*(num+j))++;
}

素数

1. 1 不是素数也不是合数。

2. 下面是一串判断 \(n\in \mathbb N\) 是否是素数的代码，时间复杂度 \(\mathcal{O}(\sqrt n)\)。

bool is_prime(long long &n){
	if(n==1)	return false;
	for(long long i=2;i<=n/i;++i)
		if(n%i==0)	return false;
	return true;
}

3. 计算一个序列每个数是否是素数：朴素筛法，有较多重复判断，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)；埃式筛法，仅是素数才向后筛，优化朴素筛法，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log\log n)\)，接近线性筛。

最大公约数

1. 若 \(a,b\in \mathbb N\) 且 \(k \mid a,b \in \mathbb N\)，且不存在更大的 \(k\)，称 \(k\) 是 \(a,b\) 的最大公约数。

2. 快速求 \(a,b\in \mathbb N\) 的最大公约数，欧几里得定理：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)\)。

3. 已知 \(a,b \in \mathbb N\)，可找到 \(x,y \in \mathbb Z\) 使 \(a\times x +b\times y=\gcd(a,b)\)，若 \(a\times x+b\times y=1\) 有解，则 \(a\) 和 \(b\) 互质。

4. 扩展欧几里得，一定存在 \(x,y\in \mathbb N\) 使贝祖等式 \(a\times x +b\times y=\gcd(a,b)\)\(\Rightarrow (\left \lfloor a \div b \right \rfloor \times b + a \bmod b) \times x + b\times y = \gcd(b,a\bmod b)\)\(\Rightarrow (\left \lfloor a \div b \right \rfloor \times x + y)\times b +(a \bmod b)\times x\)，可得新的方程 \(b \times x'+(a \bmod b)\times y' = \gcd(b,a\bmod b)\) 因此可得 \(\begin{cases}x'=(\left \lfloor a \div b \right \rfloor\times x+y)\\y'=x\end{cases}\)，同样倒推可得特解 \(\begin{cases}x=y'\\y=x'-(\left \lfloor a \div b \right \rfloor\times y')\end{cases}\)，下面是递归代码实现。

#include
array exgcd(long long &a,long long &b){
	if(b==0)	return {1,0,a};
	//当b=0时，等式为ax=gcd(a,0)，即ax=a
	//得x=1,y=0
	array ans=exgcd(b,a%b);
	long long temp=ans[0];
	ans[0]=ans[1];
	ans[1]=temp-a/b*ans[1];
	return ans;//ans[0]为x，ans[1]为y，ans[2]为gcd(a,b)
}

5. 当求得贝祖等式特解 \(x_0,y_0\in \mathbb N\) 后，可得 \(x,y\in \mathbb N\) 通解，设 \(g=\gcd(a,b)\) 通解为 \(\begin{cases}x=x_0+t\times b\div g\\y = y_0- t \times a \div g\end{cases}\)，推导过程：\(\begin{cases}a\times x+b\times y=g\\a\times x_0+b\times x_0=g\end{cases}\)\(\Rightarrow (x-x_0)\times a+(y-y_0)\times b=0\)\(\Rightarrow (x-x_0)\times a=(y_0-y)\times b\)\(\Rightarrow (x-x_0)\times \dfrac{a}{g}=(y_0-y)\times \dfrac{b}{g}\)\(\Rightarrow \begin{cases}x-x_0=t\times \dfrac{b}{g}\\y_0-y=t \times \dfrac{a}{g}\end{cases}\)\(\Rightarrow \begin{cases} x=x_0+t\times\dfrac{b}{g}\\y=y_0-t\times\dfrac{a}{g}\end{cases}\)，其中 \(x\) 的第一个解是 \(\bigg(x\bmod\dfrac{b}{g}+\dfrac{b}{g}\bigg)\bmod \dfrac{b}{g}\)。

模运算

1. 已知 \(a,b,p\in \mathbb N\)，\((a+b)\bmod p=(a\bmod p+b\bmod p)\bmod p\)，\((a-b)\bmod p=(a\bmod p+b\bmod p)\bmod p\)，\((a\times b)\bmod p=(a \bmod p\times b\bmod p)\bmod p\)。

2. 若需要进行除法的模运算，与普通的不同，例子：\(\dfrac{20}{10}\bmod 5 \neq \dfrac{20 \bmod 5}{10\bmod 5}\bmod 5\)，所以为了求 \((a\div b) \bmod p\)，\(a,b,p\in\mathbb N\)，需要找到 \(b\) 的乘法逆元 \(x\in\mathbb N\)，将算式变成 \((a\times x)\bmod p\)。

3. 已知 \(a,x,m\in \mathbb N\)，\(ax \equiv 1\pmod p\)\(\Rightarrow ax \bmod p=1\)\(\Rightarrow ax-\left\lfloor\dfrac{ax}{p}\right\rfloor\times p=1\)，称 \(x\) 是关于 \(a\) 的乘法逆元，将 \(-\left\lfloor\dfrac{ax}{p}\right\rfloor\) 用 \(y\) 替代，得 \(ax+py=1\)，即找到 \(x\) 的值即可找到 \(a\) 的乘法逆元，也可知 \(a,p\) 必须要互质。

幂

1. 求 \(a^b\)，\(a,b\in \mathbb N\)，暴力：重复乘 \(b\) 次 \(a\)，时间复杂度 \(\mathcal{O}(b)\)，可以优化。

2. 快速幂，时间复杂度 \(\mathcal{O}(\log b)\)，采用分治思想，对于一个 \(a^b\)，\(a,b\in \mathbb {N^*}\)，若 \(b\) 为复数，可推 \(a^b=a^{2^{b\div 2}}\)，若 \(b\) 为奇数，分出一个 \(a\)，可推 \(a^b=a^{2^{(b-1)\div 2}}\times a\)，例子： \(a\leftarrow 5,b\leftarrow 6\)，\(a^b=5^6=5^{2^3}=25^3=25^2\times 25=125\times 25\)，易发现 \(a^b\) 就是求分治过程中被分出来的 \(a\) 的积，以下是代码实现。

long long quick_pow(long long a,long long b){
	long long ans=1;
	while(b>0){
		if(b&1)	ans*=a;
		a*=a;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}