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时间序列分析(一) 如何判断序列是否平稳

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序列平稳不平稳，一般采用两种方法：

第一种：看图法

图是指时序图，例如(eviews画滴)：

分析：什么样的图不平稳，先说下什么是平稳，平稳就是围绕着一个常数上下波动。

看看上面这个图，很明显的增长趋势，不平稳。

第二种：自相关系数和偏相关系数

还以上面的序列为例：用eviews得到自相关和偏相关图，Q统计量和伴随概率。

分析：判断平稳与否的话，用自相关图和偏相关图就可以了。

平稳的序列的自相关图和偏相关图不是拖尾就是截尾。截尾就是在某阶之后，系数都为 0 ，怎么理解呢，看上面偏相关的图，当阶数为 1 的时候，系数值还是很大， 0.914. 二阶长的时候突然就变成了 0.050. 后面的值都很小，认为是趋于 0 ，这种状况就是截尾。再就是拖尾，拖尾就是有一个衰减的趋势，但是不都为 0 。

自相关图既不是拖尾也不是截尾。以上的图的自相关是一个三角对称的形式，这种趋势是单调趋势的典型图形。

下面是通过自相关的其他功能

如果自相关是拖尾，偏相关截尾，则用 AR 算法

如果自相关截尾，偏相关拖尾，则用 MA 算法

如果自相关和偏相关都是拖尾，则用 ARMA 算法， ARIMA 是 ARMA 算法的扩展版，用法类似 。

不平稳，怎么办？

答案是差分

还是上面那个序列，两种方法都证明他是不靠谱的，不平稳的。确定不平稳后，依次进行1阶、2阶、3阶...差分，直到平稳位置。先来个一阶差分，上图。

从图上看，一阶差分的效果不错，看着是平稳的。

OpenCV Python 系列教程4 - OpenCV 图像处理（上）

学习目标：

OpenCV 中有 150 多种色彩空间转化的方法，这里只讨论两种：

HSV的色相范围为[0,179]，饱和度范围为[0,255]，值范围为[0,255]。不同的软件使用不同的规模。如果要比较 OpenCV 值和它们，你需要标准化这些范围。

HSV 和 HLV 解释

运行结果：该段程序的作用是检测蓝色目标，同理可以检测其他颜色的目标

结果中存在一定的噪音，之后的章节将会去掉它

这是物体跟踪中最简单的方法。一旦你学会了等高线的函数，你可以做很多事情，比如找到这个物体的质心，用它来跟踪这个物体，仅仅通过在相机前移动你的手来画图表，还有很多其他有趣的事情。

菜鸟教程 在线 HSV- BGR 转换

比如要找出绿色的 HSV 值，可以使用上面的程序，得到的值取一个上下界。如上面的取下界 [H-10, 100, 100]，上界 [H+10, 255, 255]

或者使用其他工具如 GIMP

学习目标：

对图像进行阈值处理，算是一种最简单的图像分割方法，基于图像与背景之间的灰度差异，此项分割是基于像素级的分割

threshold(src, thresh, maxval, type[, dst]) - retval, dst

计算图像小区域的阈值。所以我们对同一幅图像的不同区域得到不同的阈值，这给我们在不同光照下的图像提供了更好的结果。

三个特殊的输入参数和一个输出参数

adaptiveThreshold(src, maxValue, adaptiveMethod, thresholdType, blockSize, C[, dst]) - dst

opencv-threshold-python

OpenCV 图片集

本节原文

学习目标：

OpenCV 提供两种变换函数： cv2.warpAffine 和 cv2.warpPerspective

cv2.resize() 完成缩放

文档说明

运行结果

说明 : cv2.INTER_LINEAR 方法比 cv2.INTER_CUBIC 还慢，好像与官方文档说的不一致？ 有待验证。

速度比较： INTER_CUBIC INTER_NEAREST INTER_LINEAR INTER_AREA INTER_LANCZOS4

改变图像的位置，创建一个 np.float32 类型的变换矩阵，

warpAffine(src, M, dsize[, dst[, flags[, borderMode[, borderValue]]]]) - dst

运行结果：

旋转角度（ ）是通过一个变换矩阵变换的：

OpenCV 提供的是可调旋转中心的缩放旋转，这样你可以在任何你喜欢的位置旋转。修正后的变换矩阵为

这里

OpenCV 提供了 cv2.getRotationMatrix2D 控制

cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, scale) → retval

运行结果

cv2.getAffineTransform(src, dst) → retval

函数关系：

\begin{bmatrix} x'_i \ y'_i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'_i \ y'_i \end{bmatrix} =

其中

运行结果：图上的点便于观察，两图中的红点是相互对应的

透视变换需要一个 3x3 变换矩阵。转换之后直线仍然保持笔直，要找到这个变换矩阵，需要输入图像上的 4 个点和输出图像上的对应点。在这 4 个点中，有 3 个不应该共线。通过 cv2.getPerspectiveTransform 计算得到变换矩阵，得到的矩阵 cv2.warpPerspective 变换得到最终结果。

本节原文

平滑处理（smoothing）也称模糊处理（bluring）,是一种简单且使用频率很高的图像处理方法。平滑处理的用途：常见是用来 减少图像上的噪点或失真 。在涉及到降低图像分辨率时，平滑处理是很好用的方法。

图像滤波：尽量保留图像细节特征的条件下对目标图像的噪声进行抑制，其处理效果的好坏将直接影响到后续图像处理和分析的有效性和可靠性。

消除图像中的噪声成分叫做图像的平滑化或滤波操作。信号或图像的能量大部分集中在幅度谱的低频和中频段，在高频段，有用的信息会被噪声淹没。因此一个能降低高频成分幅度的滤波器就能够减弱噪声的影响。

滤波的目的：抽出对象的特征作为图像识别的特征模式；为适应图像处理的要求，消除图像数字化时混入的噪声。

滤波处理的要求：不能损坏图像的轮廓及边缘等重要信息；图像清晰视觉效果好。

平滑滤波是低频增强的空间滤波技术，目的：模糊和消除噪音。

空间域的平滑滤波一般采用简单平均法，即求邻近像元点的平均亮度值。邻域的大小与平滑的效果直接相关，邻域越大平滑效果越好，但是邻域过大，平滑也会使边缘信息的损失的越大，从而使输出图像变得模糊。因此需要选择合适的邻域。

滤波器：一个包含加权系数的窗口，利用滤波器平滑处理图像时，把这个窗口放在图像上，透过这个窗口来看我们得到的图像。

线性滤波器：用于剔除输入信号中不想要的频率或者从许多频率中选择一个想要的频率。

低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器、全通滤波器、陷波滤波器

boxFilter(src, ddepth, ksize[, dst[, anchor[, normalize[, borderType]]]]) - dst

均值滤波是方框滤波归一化后的特殊情况。归一化就是要把处理的量缩放到一个范围内如 (0,1)，以便统一处理和直观量化。非归一化的方框滤波用于计算每个像素邻近内的积分特性，比如密集光流算法中用到的图像倒数的协方差矩阵。

运行结果：

均值滤波是典型的线性滤波算法，主要方法为邻域平均法，即用一片图像区域的各个像素的均值来代替原图像中的各个像素值。一般需要在图像上对目标像素给出一个模板（内核），该模板包括了其周围的临近像素（比如以目标像素为中心的周围8（3x3-1）个像素，构成一个滤波模板，即 去掉目标像素本身 ）。再用模板中的全体像素的平均值来代替原来像素值。即对待处理的当前像素点（x，y），选择一个模板，该模板由其近邻的若干像素组成，求模板中所有像素的均值，再把该均值赋予当前像素点（x，y），作为处理后图像在该点上的灰度个g（x，y），即个g（x，y）=1/m ∑f（x，y） ，其中m为该模板中包含当前像素在内的像素总个数。

均值滤波本身存在着固有的缺陷，即它不能很好地保护图像细节，在图像去噪的同时也破坏了图像的细节部分，从而使图像变得模糊，不能很好地去除噪声点。

cv2.blur(src, ksize[, dst[, anchor[, borderType]]]) → dst

结果：

高斯滤波：线性滤波，可以消除高斯噪声，广泛应用于图像处理的减噪过程。高斯滤波就是对整幅图像进行加权平均的过程，每一个像素点的值，都由其本身和邻域内的其他像素值经过 加权平均 后得到。高斯滤波的具体操作是：用一个模板（或称卷积、掩模）扫描图像中的每一个像素，用模板确定的邻域内像素的加权平均灰度值去替代模板中心像素点的值。

高斯滤波有用但是效率不高。

高斯模糊技术生成的图像，其视觉效果就像是经过一个半透明屏幕在观察图像，这与镜头焦外成像效果散景以及普通照明阴影中的效果都明显不同。高斯平滑也用于计算机视觉算法中的预先处理阶段，以增强图像在不同比例大小下的图像效果（参见尺度空间表示以及尺度空间实现）。从数学的角度来看，图像的高斯模糊过程就是图像与正态分布做卷积。由于正态分布又叫作高斯分布，所以这项技术就叫作高斯模糊。

高斯滤波器是一类根据高斯函数的形状来选择权值的线性平滑滤波器。 高斯平滑滤波器对于抑制服从正态分布的噪声非常有效。

一维零均值高斯函数为: 高斯分布参数 决定了高斯函数的宽度。

高斯噪声的产生

GaussianBlur(src, ksize, sigmaX[, dst[, sigmaY[, borderType]]]) - dst

线性滤波容易构造，并且易于从频率响应的角度来进行分析。

许多情况，使用近邻像素的非线性滤波会得到更好的结果。比如在噪声是散粒噪声而不是高斯噪声，即图像偶尔会出现很大值的时候，用高斯滤波器进行图像模糊时，噪声像素不会被消除，而是转化为更为柔和但仍然可见的散粒。

中值滤波（Median filter）是一种典型的非线性滤波技术，基本思想是用像素点邻域灰度值的中值来代替该像素点的灰度值，该方法在去除脉冲噪声、椒盐噪声『椒盐噪声又称脉冲噪声，它随机改变一些像素值，是由图像传感器，传输信道，解码处理等产生的黑白相间的亮暗点噪声。椒盐噪声往往由图像切割引起。』的同时又能保留图像边缘细节，

中值滤波是基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性信号处理技术，其基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替，让周围的像素值接近的真实值，从而消除孤立的噪声点，对于 斑点噪声（speckle noise）和椒盐噪声（salt-and-pepper noise） 来说尤其有用，因为它不依赖于邻域内那些与典型值差别很大的值。中值滤波器在处理连续图像窗函数时与线性滤波器的工作方式类似，但滤波过程却不再是加权运算。

中值滤波在一定的条件下可以克服常见线性滤波器如最小均方滤波、方框滤波器、均值滤波等带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声非常有效，也常用于保护边缘信息, 保存边缘的特性使它在不希望出现边缘模糊的场合也很有用，是非常经典的平滑噪声处理方法。

与均值滤波比较：

说明：中值滤波在一定条件下，可以克服线性滤波器（如均值滤波等）所带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰即图像扫描噪声最为有效。在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，也给计算带来不少方便。 但是对一些细节多，特别是线、尖顶等细节多的图像不宜采用中值滤波。

双边滤波（Bilateral filter）是一种非线性的滤波方法，是结合 图像的空间邻近度和像素值相似度 的一种折衷处理，同时考虑空域信息和灰度相似性，达到保边去噪的目的。具有简单、非迭代、局部的特点。

双边滤波器的好处是可以做边缘保存（edge preserving），一般过去用的维纳滤波或者高斯滤波去降噪，都会较明显地模糊边缘，对于高频细节的保护效果并不明显。双边滤波器顾名思义比高斯滤波多了一个高斯方差 sigma－d ，它是基于空间分布的高斯滤波函数，所以在边缘附近，离的较远的像素不会太多影响到边缘上的像素值，这样就保证了边缘附近像素值的保存。 但是由于保存了过多的高频信息，对于彩色图像里的高频噪声，双边滤波器不能够干净的滤掉，只能够对于低频信息进行较好的滤波。

运行结果

学习目标:

形态变换是基于图像形状的一些简单操作。它通常在二进制图像上执行。

膨胀与腐蚀实现的功能

侵蚀的基本思想就像土壤侵蚀一样，它会侵蚀前景物体的边界（总是试图保持前景为白色）。那它是做什么的？内核在图像中滑动（如在2D卷积中）。只有当内核下的所有像素都是 1 时，原始图像中的像素（ 1 或 0 ）才会被视为 1 ，否则它将被侵蚀（变为零）

erode(src, kernel[, dst[, anchor[, iterations[, borderType[, borderValue]]]]]) - dst

与腐蚀的操作相反。如果内核下的至少一个像素为“1”，则像素元素为“1”。因此它增加了图像中的白色区域或前景对象的大小增加。通常，在去除噪音的情况下，侵蚀之后是扩张。因为，侵蚀会消除白噪声，但它也会缩小我们的物体。所以我们扩大它。由于噪音消失了，它们不会再回来，但我们的物体区域会增加。它也可用于连接对象的破碎部分

Python均值平滑后的数据索引不变

滑动平均法把前后时刻的一共2n+1个观测值做平均，得到当前时刻的滤波结果。

滑动平均法还有一个升级版本，也就是加权滑动平均法。实际场景中，每个观测值的重要程度不同，忽略每个观测值的置信度直接平均不能得到精确的结果，所以就需要给观测值加权。

滑动平均法使用的前提是，噪声的均值为0，真实值变化不大或线性变化的场景。如果真实值有较高频率的非线性突变的话，滑动平均法的效果就不够好了。同时，滑动平均法的窗口选取很重要，需要根据具体数据来选择。

如何利用Python绘制ROC曲线

方法/步骤 1 首先，打开数据，以A2列数据为例做曲线。 2 点击“ Analyze -ROC curve ”。 3 弹出界面后，导入A2列数据，调节其它参数。 4 点击“OK”，出现结果。 5 双击ROC曲线，进入调节界面。 6 可以调节很多参数，也可以把曲线调成平滑的。

指数平滑方法简介

指数平滑（Exponential smoothing）是除了 ARIMA 之外的另一种被广泛使用的时间序列预测方法（关于 ARIMA，请参考 时间序列模型简介 ）。 指数平滑即指数移动平均（exponential moving average），是以指数式递减加权的移动平均。各数值的权重随时间指数式递减，越近期的数据权重越高。常用的指数平滑方法有一次指数平滑、二次指数平滑和三次指数平滑。

一次指数平滑又叫简单指数平滑（simple exponential smoothing， SES），适合用来预测没有明显趋势和季节性的时间序列。其预测结果是一条水平的直线。模型形如：

其中 是真实值， 为预测值， 为平滑值， 。

定义残差 ，其中 ，则可以通过优化方法得到 和 。

使用 python 的 statsmodels 可以方便地应用该模型：

效果如图：

Holt 扩展了简单指数平滑，使其可以用来预测带有趋势的时间序列。直观地看，就是对平滑值的一阶差分（可以理解为斜率）也作一次平滑。模型的预测结果是一条斜率不为0的直线。模型形如：

其中 ， 。

效果如图：

Holt's linear trend method 得到的预测结果是一条直线，即认为未来的趋势是固定的。对于短期有趋势、长期趋于稳定的序列，可以引入一个阻尼系数 ，将模型改写为

为了描述时间序列的季节性，Holt 和 Winters 进一步扩展了 Holt's linear trend method，得到了三次指数平滑模型，也就是通常说的 Holt-Winters’ 模型。我们用 表示“季节”的周期。根据季节部分和非季节部分的组合方式不同，Holt-Winters’ 又可以分为加法模型和乘法模型。

加法模型形如：

其中 ， ， 。 是 的整数部分。

效果如图：

乘法模型形如：

效果如图：

Holt-Winters’ 模型的趋势部分同样可以引入阻尼系数 ，这里不再赘述。

参数优化的方法是最小化误差平方和或最大化似然函数。模型选择可以根据信息量准则，常用的有 AIC 和 BIC等。

AIC 即 Akaike information criterion， 定义为

其中 是似然函数， 是参数数量。用 AIC 选择模型时要求似然函数大，同时对参数数量作了惩罚，在似然函数相近的情况下选择复杂度低的模型。

BIC 即 Bayesian information criterion，定义为

其中 是样本数量。当 时， ，因此当样本量较大时 BIC 对模型复杂度的惩罚比 AIC 更严厉。

线性的指数平滑方法可以看作是 ARIMA 的特例。例如简单指数平滑等价于 ARIMA(0, 1, 1)，Holt's linear trend method 等价于 ARIMA(0, 2, 2)，而 Damped trend methods 等价于 ARIMA(1, 1, 2) 等。

我们不妨来验证一下。

可以改写为

亦即

两边同时加上 ，得

而 ARIMA(p, d, q) 可以表示为

其中 是滞后算子（Lag operator）， 。

考虑 ARIMA(0, 1, 1)

即

亦即

令 ，则两者等价。

非线性的指数平滑方法则没有对应的 ARIMA 表示。

[1] Hyndman, Rob J., and George Athanasopoulos. Forecasting: principles and practice. OTexts, 2014.

[2] Exponential smoothing - Wikipedia

[3] Introduction to ARIMA models - Duke

如何使用Python绘制光滑实验数据曲线

楼主的问题是否是“怎样描绘出没有数据点的位置的曲线”，或者是“x在某个位置时，即使没有数据，我也想知道他的y值是多少，好绘制曲线”。这就是个预测未知数据的问题。

传统的方法就是回归，python的scipy可以做。流行一点的就是机器学习，python的scikit-learn可以做。

但问题在于，仅由光强能预测出开路电压吗（当然，有可能可以预测。）？就是你的图1和图2的曲线都不能说是不可能发生的情况吧，所以想预测开路电压值还需引入其他影响因子。这样你才能知道平滑曲线到底应该像图1还是图2还是其他样子。

如果是单因子的话，从散点图观察，有点像 y = Alnx + B，用线性回归模型确定A,B的值就可以通过x预测y的值，从而绘制平滑的曲线了。