Pell函数c语言,c语言fill函数

求解一个佩尔方程

方程没有10亿以内的解，手动计算应该是行不通的

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我写了一个程序，计算出方程的一组特解:

x=379516400906811930638014896080

y=12055735790331359447442538767

算法是求√991的渐进连分数h0/k0,h1/k1...h(l-1)/k(l-1),l是连分数的最小正周期，若l是偶数，则h(l-1)和k(l-1)就是pell方程的一组特解，否则h(2l - 1)和k(2l- 1)是方程的一组特解。证明可以在任何一本数论书上找到，不再赘述，也可以参考wiki百科的pell方程条目

程序附在后面，C++写的，任何一个windows平台下的C++编译器都可以编译(VC++,DEVCPP等等),涉及到大整数的运算比较麻烦，用matlab写起来会更简单

程序清单:

#include stdio.h

#include stdlib.h

#include memory.h

#include math.h

#define LEN 200

#define BASE 10000000 //大整数用10^7进制来计算

typedef __int64 INT;

struct BIG //大整数结构定义，整数每7位拼成一个int64,这样加减乘计算耗时较少

{

INT a[LEN];//存放大整数的数组

int len; //标记大整数的长度，不能超过200

}h[3],k[3];

INT a[1 14],c[1 14],q[1 14];

/*实际是计算:

h[i] = n*h[i - 1] + h[i - 2];

k[i] = n*k[i - 1] + k[i - 2];

这是连分数的递推形式

*/

void go(INT n)

{

int i;

for(i = 0;i h[1].len;i++)

h[2].a[i] = h[1].a[i] * n + h[0].a[i];

for(i = 0;i h[1].len;i++)

h[2].a[i + 1] += h[2].a[i] / BASE,h[2].a[i] %= BASE;

if(h[2].a[h[2].len])

h[2].len++;

for(i = 0;i k[1].len;i++)

k[2].a[i] = k[1].a[i] * n + k[0].a[i];

for(i = 0;i k[1].len;i++)

k[2].a[i + 1] += k[2].a[i] / BASE,k[2].a[i] %= BASE;

if(k[2].a[k[2].len])

k[2].len++;

for(i = 0;i 2;i++)

h[i] = h[i + 1],k[i] = k[i + 1];

}

void print(BIG a) //把大整数输出

{

int i;

printf("%I64d",a.a[a.len - 1]);

for(i = a.len - 2;i = 0;i--)

printf("%07I64d",a.a[i]);

}

int main()

{

int i,j,len;

bool use = false;

c[0] = 0,q[0] = 1,a[0] = 31;

for(i = 1;;i++) //寻找连分数循环节，j-i是最小循环周期

{

c[i] = a[i - 1] * q[i - 1] - c[i - 1];

q[i] = (991 - c[i] * c[i])/q[i - 1];

a[i] = (a[0] + c[i])/q[i];

if(!use)

{

for(j = 0;j i;j++)

{

if(c[i] == c[j] a[i] == a[j] q[i] == q[j])

{

len = i - j;

break;

}

}

if(j i)

break;

}

}

if(len 1) //循环节长度是奇数，长度要乘以2

len = 1;

for(i = 0;i 3;i++)

{

memset(h[i].a,0,sizeof(h[i].a));

memset(k[i].a,0,sizeof(k[i].a));

h[i].len = k[i].len = 0;

}

h[0].a[0] = a[0],h[0].len = 1;

h[1].a[0] = a[0] * a[1] + 1;

h[1].len = 1;

k[0].a[0] = 1,k[0].len = 1;

k[1].a[0] = a[1],k[1].len = 1;

for(i = 2;i len;i++)

go(a[i]);

printf("x = ");

print(h[2]);

printf(" ");

printf("y = ");

print(k[2]);

printf("\n");

system("PAUSE");

return 0;

}

佩尔方程解的证明

佩尔方程

Pell方程，由费马提出，但后来欧拉误记为佩尔提出，并写入他的著作中。后人多称佩尔方程。沿续至今。

　基本内容

设d是正整数，且d不含平方因子。

下面的不定方程称为佩尔（Pell）方程：

x^2-dy^2=1

求正整数解(x,y).

这是初等数论中最经典的内容之一。

假设(x_0,y_0)是一个最小解， 那么所有的解可写为

x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0*(d)^0.5)^(n+1)

佩尔方程与连分数，二次型，代数数域等等都有密切联系。

在一般的函数域上，我们也有类似的佩尔方程， 它和向量丛的稳定性有着微妙的关系。

简单C语言求大神

#includestdio.h

#includestring.h

int main()

{

int n = 0, m = 0;

int i = 0,j = 0;

char a[81] = "";

char *p = NULL;

while(EOF !=scanf("%d",n))

{

if (n  1 || n  1000)

continue;

break;

}

while (i  n)

{

scanf("%d %s",m,a);

p = a + m;

*(p - 1) = '\0';

printf("%d %s%s\n",++i,a,p);

}

return 0;

}

C语言，数据结构，

#include stdio.h

#include "stdlib.h"

int main(void){

int n,i,j,k,t,r,*p;

printf("Input n(int n0)...\nn=");

if(scanf("%d",n)!=1 || n1){

printf("Input error, exit...\n");

return 0;

}

if((p=(int *)malloc(sizeof(int)*n))==NULL){

printf("Application memory failure...\n");

return 0;

}

printf("Input k(int 0k100000)...\n");

i=-1;

while(++in){

while(scanf("%d",k)!=1 || k1 || k99999){

printf("Error, redo:");

fflush(stdin);

}

p[i]=k;

}

for(t=0;tn;t++)

if(p[t]2){

for(i=1,j=k=2;kp[t];k++)

r=((i%=32767)+((j%=32767)*2)%32767)%32767,i=j,j=r;

printf("%d\n",r);

}

else

printf("%d\n",p[t]);

free(p);

printf("\n");

return 0;

}

pell方程通解

佩尔方程是一种不定二次方程。

古希腊数学家在计算2的平方根时，尝试使用了这类方程中的一个，婆罗摩笈多(Brahmagupta)对佩尔方程的研究进行了最早的贡献 ，佩尔方程和欧几里德算法一起使用，可计算一个正整数的平方根的近似值 。由于欧拉最早把此类方程称为佩尔方程，所以就有了这个名词了。实际上，数学家费马深入研究了这类方程，拉格朗日给出了解决方案 。所以在数学界，它也被称为“佩尔-费马方程”。

设d是正整数，且非平方数。

下面的不定方程称为佩尔（Pell）方程：

佩尔方程

佩尔方程

....(1)

(1)一定有无穷多组正整数解

这是初等数论中最经典的内容之一。

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

假设( )是①中使 最小的正整数解（称(1)的基本解）， 那么①的所有的正整数解可写为

x_n=1/2[(x_1+y_1d^0.5)^n+(x_1-y_1d^0.5)^n]

y_n=1/(2d^0.5)[(x_1+y_1d^0.5)^n-(x_1-y_1d^0.5)^n]

∴x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0d^0.5)^(n+1)

且不难导出x_n,y_n满足的线性递推关系

x_n=2x_1x_(n-1)-x_(n-2)

y_n=2x_1y_(n-1)-y_(n-2)

佩尔方程与连分数，二次型，代数数域等等都有密切联系。

在一般的函数域上，我们也有类似的佩尔方程， 它和向量丛的稳定性有着微妙的关系。

以上的公式就是Pell方程的一般形态

佩尔方程通解

d不为完全平方数时时存在无穷多个解

解的存在性证明：

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

(1) 首先证明存在无穷多个正整数 满足 .

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

佩尔方程

记 = ，考察集合 ，显然对于任意正整数Q1，均存在 满足 （事实上，此集合中每个元数都在(0,1)之内 . 作区间 、 、 、 ，那么当 从0取到Q时，由抽屉原理即知）

佩尔方程

佩尔方程

于是 ，

佩尔方程

佩尔方程

即 .

佩尔方程

佩尔方程

让Q从小到大取遍所有正整数，就可得到无穷多组正整数 .