阶乘相关的算法及其C++实现的示例分析

本篇文章为大家展示了阶乘相关的算法及其C++实现的示例分析，内容简明扼要并且容易理解，绝对能使你眼前一亮，通过这篇文章的详细介绍希望你能有所收获。

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阶乘指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。C++中的阶乘亦是如此。有关阶乘的算法，不外乎两个方面：一是高精度计算;二是与数论相关。

一。 高精度计算阶乘

这实际上是最没有技术含量的问题，但是又会经常用到，所以还是得编写，优化它的计算。

首先看小于等于12的阶乘计算(计算结果不会超出32位范围)：

int factorial(int n) {  if (n == 1 || n == 0)  return 1;  return factorial(n-1)*n;  }

这个递归程序简单明了，非常直观，然而一旦n > 12，则超过32位int型的范围出现错误结果，所以上面这个递归程序仅适合n <= 12的阶乘计算，为了计算较大n的阶乘，需要将高精度乘法算法纳入到阶乘计算中来，高精度乘法过程可以如下简单的描述：(其中A * B = C，A[0], B[0], C[0]分别存储长度)

for (i = 1; i <= A[0]; i++)  for (j = 1; j <= B[0]; j++) {  C[i+j-1] += A[i]*B[j]; // 当前i+j-1位对应项 + A[i] * B[j]  C[i+j] += C[i+j-1]/10; // 它的后一位 + 它的商(进位)  C[i+j-1] %= 10; // 它再取余即可  }  C[0] = A[0] + B[0];  while (C[0] > 1 && C[C[0]] == 0) C[0]--; // 去头0，获得实际C的长度

有了这个高精度乘法之后，计算阶乘就可以简单的迭代进行：

for (i = 2; i <= n; i++) {

将i转换成字符数组;

执行高精度乘法：将上一次结果乘上i

}

二。 与数论有关

由于阶乘到后面越来越大，巧妙的利用数论求得一些有趣的数字(数值)等成为阶乘算法的设计点，下面给出几道相关的问题与分析：

(1) 计算阶乘末尾***个非0数字：

这是一个比较经典的问题，比较复杂的算法是利用一个艰难的数学公式，可惜我不会，从网上的资料学习中，整理出下面这个简单易懂的算法：

观察n!，可以发现在乘的过程中，对于任意 n > 1，n!的末尾***个非0数字都是偶数。我们只需保留***一位非零数。当要乘的数中含有因数5时，我们可以把所有的因数5都当作8来乘。这是因为：

…x2*5=…10(舍)或…60，***一位非零数为6。而恰好2*8=16，末位为6。

…x4*5=…70(舍)或…20，***一位非零数为2。而恰好4*8=32，末位为2。

…x6*5=…30(舍)或…80，***一位非零数为8。而恰好6*8=48，末位为8。

…x8*5=…90(舍)或…40，***一位非零数为4。而恰好8*8=64，末位为4。

(对于n > 1时，***一位不会出现 1, 7, 3, 9，而永远是2, 4, 6, 8的循环出现)

因此，在迭代作乘法时，主要就是计算因子5的数量，同时可见因子5的个数以4为循环节(即只需要取它的数量对4取模)。那么对于不同情况下的因子5的数量，可以通过res[5][4] = {{0,0,0,0}, {2,6,8,4}, {4,2,6,8}, {6,8,4,2}, {8,4,2,6}}来得到，使用nonzero[i]表示i的阶乘的***一位，那么：

如果t是偶数，则直接乘：nonzero[i] = (nonzero[i-1]*t)%10。

否则nonzero[i] = res[((nonzero[i-1]*t)%10)/2][five];

其中t是除掉所有因子5的结果，five为因子5数量对4的模。相关题目：

http://acm.zju.edu.cn的第1222题。不过这一道题注意的是，它的输入n并非只在32位int数值范围内，而是有很大的长度，所以计算这道变态题目时，需要利用到高精度除法(n/=5)和高精度加法(cnt+=n)。

(2)。 阶乘末尾有多少个0

分析发现，实际上形成末尾0，就是因子5的数量，而计算1~n之间包含一个因子i的个数的简单算法就是：

cnt = 0; while (n) { n /= i; cnt += n; }

因此，直接将i换成5，就可以得到因子5的数量，也即n!末尾0的数量。

(3)。 返回阶乘左边的第二个数字

简单算法：用实数乘，超过100就除以10，***取个位即可。因为整数部分的个位就是阶乘结果左边的第二个数字。相关题目：

(4)。 判断数值 m 是否可以整除 n!

算法：使用素因子判断法

A. 首先直接输出两种特殊情况：

m == 0 则 0肯定不会整除n!;

n >= m 则 m肯定可以整除n!;

B. 那么就只剩***一种情况：m > n，我们从m的最小素因子取起，设素因子为i那么可以 求得m的素因子i的个数 nums1;再检查闭区间 i ~ n 之间的数，一共包含多少个素因子i，就可以简单的利用上面(2)中所介绍的数学公式进行计算得到nums2。如果nums2 < nums1，就表示1 ~ n中包含素因子的数量 < 除数m包含素因子i的数量，那么m必然不能整除n!，置ok = false。

C. ***：如果 !ok or m > n or m == 0 则不能整除;否则可以整除

(5)。数字N能否表示成若干个不相同的阶乘的和：

这里可以选择的阶乘为：0! ~ 9!，实际上这一题与数论无关，与搜索有关。相关题目：http://acm.zju.edu.cn 的2358题。

分析，由于可供选择的阶乘数量较少，直接可以利用DFS搜索来做：

A. 首先将0 ~ 9的阶乘作一个表A[10];再设置一个可以组成“和”的数组ans[N]。

B. 深度优先搜索方法：

search(n) {  for(i = n; i <= 9; i++) {  sum += A[i]; //求和，如果sum在ans数组中不存在，则将sum插入到ans[]数组中  search(n+1);  sum -= A[i]; //回溯  }  }

C. 对于输入n，就在ans数组中查找是否存在n，如果存在，则表示n可以表示成不同的阶乘和，否则不行。

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