C++不同的二叉搜索树问题怎么解决

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原题

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

  1         3     3      2     1
   \        /     /      / \      \
   3      2     1     1   3      2
   /      /       \                    \
  2     1         2                    3

解题

这道题看到的第一眼，就和之前的格雷编码一样，又想用动态规划，每次都是遍历所有情况去检查是否有效，但感觉时间复杂度会很高，找找看有没有什么更高效的做法。

所谓高效，也就是寻找规律了，最好的是可以递推，下一次运算可以利用之前的结果，而本题就是用这种规律的。我们来试试 n 等于0、1、2、3的情况：

n = 0，只有1种。

n = 1，也只有1种。

n = 2，有2种
1           2
\         /
  2    1

n = 3，有5种
  1         3     3      2     1
   \        /     /      / \      \
   3      2     1     1   3      2
   /      /       \                    \
  2     1         2                    3

让我们回想一下什么叫二叉搜索树，就是针对每个节点，其左子树中所有节点都比它小，其右子树中所有节点都比它大。

再想一下，如果我们针对根选中的情况下，左右子树节点的个数其实也已经定下来了，那么假设同样是 3 个节点，"1、2、3"和"4、5、6"可以组成二叉搜索树，从数量上讲是一样的，因为大小关系没有变。

因此，我们可以说，针对二叉搜索树，其不用考虑值具体是多少，只需要考虑其大小关系即可，那么这就符合上面我所希望的场景了，下一次的运算可以利用之前的结果。

以这道题来说，其具体规律就是：

1. 从 1 开始遍历直至 n，以每个节点作为根节点，这样就能计算出左右各个子树的所有节点数。

2. 当我们知道了个数，也就可以利用之前计算的结果，获得左右子树可能的情况，两者相乘，也就是在当前根的情况，所有二叉搜索树的情况。

3. 将所有根节点的总计算出的数量做累加，也就得出了当前节点数的总情况。

让我们看看代码：

class Solution {
   public int numTrees(int n) {
           // 存放中间结果
       int[] result = new int[n + 1];
       result[0] = 1;
       result[1] = 1;

       for (int i = 2; i <= n; i++) {
           int count = 0;
           for (int j = 1; j <= i; j++) {
               // 左子树总节点数 + 右子树总节点数
               count += (result[j - 1] * result[i - j]);
           }
           result[i] = count;
       }

       return result[n];
   }
}

提交OK， 执行用时：0 ms，内存消耗：33.2 MB。

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